[수학 퍼즐] 12 개의 추 중에 무게가 다른 하나를 양팔 저울 세 번만에 찾는 방법

오늘은 유명한 수학 퍼즐 문제를 풀어보겠습니다!

 

문제!

12개의 추 중에 하나만 무게가 다르다.

하지만 양팔 저울 3번만 사용할 수 있다.

3번 안에 무게가 다른 1개의 추를 찾아내야 한다.

1개의 다른 추가 더 가벼운지, 무거운지도 알아내야 함!

 

 

 

 

 

 

 

 

찍어서 맞힐 수도 있지만

100% 정답을 맞출 수 있는 풀이법이 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이!

 

 

 

우선, 시도 횟수가 적기 때문에 빠르게 범위를 좁히는 것이 중요합니다.

저울에 추를 4개씩 올려서 범위를 좁히는 것입니다.

 

 

 

추에 번호를 매겨 1번에서 12번까지의 추가 있다고 표시 하겠습니다.

 

1, 2, 3, 4번의 추를 한 곳에, 5, 6, 7, 8번의 추를 다른 한 곳에 놓아 무게를 재 줍니다. - [ 저울 1회 사용 ] 

 

 

이 때,

[Case 1] 1,2,3,4의 무게 < 5,6,7,8의 무게 일 경우

그럼 무게가 달라졌기 때문에 1~8중에 범인이 있다는 뜻입니다.

 

그럼, 여기서 

1, 2, 5번의 추를 한 곳에, 3, 4, 6번의 추를 한 곳에 놓아 무게를 재 줍니다. - [ 저울 2회 사용 ]  

 

[Case 1-1] 1,2,5의 무게 < 3,4,6의 무게 일 경우

두 번의 실험을 통해

1,2가 가볍거나 6이 무거운 것임을 알 수 있습니다.

 

왜냐하면,

3,4,6이 무거운데, 3, 4가 무거울 경우에는 Case 1이 될 수 없기 때문에

셋 중에 범인이 있다면 6이 무거워야 하고

1,2,5가 가벼운데 5가 가벼울 경우에는 Case 1이 성립될 수 없기 때문에

셋 중에 범인이 있다면 1,2가 다른 추보다 가벼워야 하기 때문입니다.

 

그럼 이제 세 번째 저울 사용으로 범인을 구할 수 있습니다.

1번 추와 2번 추의 무게를 재 줍니다. - [ 저울 3회 사용 ] 

[Case 1-1-1] 1의 무게 > 2의 무게일 경우

2가 가벼운 것입니다. 2가 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

[Case 1-1-2] 1의 무게 < 2의 무게일 경우

1이 가벼운 것입니다. 1이 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

[Case 1-1-3] 1의 무게 = 2의 무게일 경우

6이 무거운 것입니다. 6이 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

 

 

 

[Case 1-2] 1,2,5의 무게 = 3,4,6의 무게 일 경우

두 번의 실험을 통해

7이나 8이 무거운 것임을 알 수 있습니다.

 

왜냐하면,

1,2,3,4,5,6은 그 중에 하나만 다르게 나오면 무게가 같을 수가 없기 때문에 7,8 중에 범인이 있고,

Case 1에서 5,6,7,8이 무겁게 나왔기 때문입니다.

 

그럼 이제 세 번째 저울 사용으로 범인을 구할 수 있습니다.

7번 추와 8번 추의 무게를 재 줍니다. - [ 저울 3회 사용 ] 

[Case 1-2-1] 7의 무게 > 8의 무게일 경우

7이 무거운 것입니다. 7이 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

[Case 1-2-2] 7의 무게 < 8의 무게일 경우

8이 무거운 것입니다. 8이 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

[Case 1-2-3] 7의 무게 = 8의 무게일 경우

이건 성립이 안 됩니다. 이 케이스는 없습니다!

 

 

 

[Case 1-3] 1,2,5의 무게 > 3,4,6의 무게 일 경우

두 번의 실험을 통해

3,4가 가볍거나 5이 무거운 것임을 알 수 있습니다.

 

왜냐하면,

위의 Case 1-1과 동일한 이유입니다.

 

그럼 이제 세 번째 저울 사용으로 범인을 구할 수 있습니다.

3번 추와 4번 추의 무게를 재 줍니다. - [ 저울 3회 사용 ] 

[Case 1-3-1] 3의 무게 > 4의 무게일 경우

4가 가벼운 것입니다. 4가 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

[Case 1-3-2] 3의 무게 < 4의 무게일 경우

3이 가벼운 것입니다. 3이 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

[Case 1-3-3] 3의 무게 = 4의 무게일 경우

5가 무거운 것입니다. 5가 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

 

다음으로, 

[Case 2] 1,2,3,4의 무게 = 5,6,7,8의 무게 일 경우

그럼 8개의 무게는 모두 같다고 할 수 있고, 9~12중에 범인이 있다는 뜻입니다.

 

그럼, 여기서 

10, 11, 12번의 추를 한 곳에, 1, 2, 3번의 추를 한 곳에 놓아 무게를 재 줍니다. - [ 저울 2회 사용 ]  

 

[Case 2-1] 10,11,12의 무게 < 1,2,3의 무게 일 경우

10~12 중 범인이 있고, 1,2,3에 비해 무게가 가볍기 때문에

10~12 셋 중에 하나가 무게가 가볍다는 것을 알 수 있습니다.

 

그럼 이제 세 번째 저울 사용으로 범인을 구할 수 있습니다.

10번 추와 11번 추의 무게를 재 줍니다. - [ 저울 3회 사용 ] 

[Case 2-1-1] 10의 무게 > 11의 무게일 경우

11이 가벼운 것입니다. 11이 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

[Case 2-1-2] 10의 무게 < 11의 무게일 경우

10이 가벼운 것입니다. 10이 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

[Case 2-1-3] 10의 무게 = 11의 무게일 경우

12가 가벼운 것입니다. 12가 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

 

[Case 2-2] 10,11,12의 무게 = 1,2,3의 무게 일 경우

10~12 도 모두 같고, 1,2,3과도 무게가 같다면

1~8, 10~12까지는 모두 무게가 같다고 할 수 있습니다.

따라서, 9가 범인이고, 다른 추에 비해 무거운지 가벼운지는 아직 알 수 없습니다.

 

그럼 이제 세 번째 저울 사용으로 범인을 구할 수 있습니다.

10번 추와 9번 추의 무게를 재 줍니다. - [ 저울 3회 사용 ] 

• 굳이 10번과 잴 필요는 없고 범인을 알았기 때문에 다른 추 아무거나와 비교하면 됩니다.

 

[Case 2-2-1] 10의 무게 > 9의 무게일 경우

9가 가벼운 것입니다. 9가 다른 추들에 비해 가볍습니다!

 

[Case 2-2-2] 10의 무게 < 9의 무게일 경우

9가 무거운 것입니다. 9가 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

[Case 2-2-3] 10의 무게 = 9의 무게일 경우

이건 성립이 안 됩니다. 이 케이스는 없습니다!

 

 

[Case 2-3] 10,11,12의 무게 > 1,2,3의 무게 일 경우

10~12 중 범인이 있고, 1,2,3에 비해 무게가 무겁기 때문에

10~12 셋 중에 하나가 무게가 무겁다는 것을 알 수 있습니다.

 

그럼 이제 세 번째 저울 사용으로 범인을 구할 수 있습니다.

10번 추와 11번 추의 무게를 재 줍니다. - [ 저울 3회 사용 ] 

[Case 2-3-1] 10의 무게 > 11의 무게일 경우

10이 무거운 것입니다. 10이 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

[Case 2-3-2] 10의 무게 < 11의 무게일 경우

11이 무거운 것입니다. 11이 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

[Case 2-3-3] 10의 무게 = 11의 무게일 경우

12가 무거운 것입니다. 12가 다른 추들에 비해 무겁습니다!

 

 

 

 

[Case 3] 1,2,3,4의 무게 > 5,6,7,8의 무게 일 경우

이 때는 Case 1과 부등호만 달라진 것이기 때문에

동일하게 하면 됩니다!

 

 

 

 

 

 

요약

1. 1234 < 5678
 1) 125 < 346: 12가 가볍거나 6이 무거운 것
      (1) 1 > 2: 2가 가벼움
      (2) 1 < 2: 1이 가벼움
      (3) 1 = 2: 6이 무거움
 2) 125 = 346: 7이나 8이 무거움
      (1) 7 > 8: 7이 무거움
      (2) 7 < 8: 8이 무거움
      (3) 7 = 8: 안됨
 3) 125 > 346: 5가 무겁거나, 34가 가벼운 것

2. 1234 = 5678
 1) 10,11,12 > 123 : 무겁고 세개중 하나
    (1) 10 > 11: 10이고 무거움
    (2) 10 = 11: 12이고 무거움
    (3) 10 < 11: 11이고 무거움
 2) 10,11,12 = 123 : 모르겠지만 답은 9
    (1) 9 > 10: 9가 무거움
    (2) 9 < 10: 9가 가벼움
 3)10,11,12 < 123 : 가볍고 세개중 하나
    (1) 10 > 11: 11이고 가벼움
    (2) 10 = 11: 12이고 가벼움
    (3) 10 < 11: 10이고 가벼움

 

 

 

 

 

 

수학 퍼즐 재밌으셨나요?

다음 시간에 만나요! 😉